y%3De%5Ex%2Bcos2x.jpeg "(d^2-4d+4)y=e^x+cos2x")
Mengolah Persamaan Diferensial (d^2-4d+4)y=e^x+cos2x
Pada artikel ini, kita akan membahas tentang bagaimana mengolah persamaan diferensial yang diberikan, yaitu (d^2-4d+4)y=e^x+cos2x. Persamaan ini termasuk dalam kategori persamaan diferensial linier tak homogen, dan kita akan membahas langkah-langkah untuk menyelesaikannya.
Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen
Persamaan diferensial linier tak homogen memiliki bentuk umum sebagai berikut:
ay'' + by' + cy = f(x)
Dimana a, b, dan c adalah konstanta, y adalah fungsi yang tidak diketahui, dan f(x) adalah fungsi yang diberikan. Pada kasus ini, persamaan diferensial yang kita hadapi adalah:
(d^2-4d+4)y=e^x+cos2x
Mengubah Persamaan Diferensial ke Bentuk Standar
Langkah pertama dalam mengolah persamaan diferensial ini adalah mengubahnya ke bentuk standar. Untuk melakukan hal ini, kita perlu mengubah persamaan diferensial ke bentuk:
y'' + py' + qy = f(x)
Dimana p dan q adalah konstanta. Pada kasus ini, kita dapat mengubah persamaan diferensial menjadi:
y'' - 4y' + 4y = e^x + cos2x
Mencari Solusi Umum
Untuk mencari solusi umum persamaan diferensial ini, kita perlu menghitung nilai-nilai eigen dari persamaan karakteristik. Nilai-nilai eigen ini dapat dihitung dengan menggantikan y dengan e^(rx) ke dalam persamaan diferensial dan mengisolasi nilai r.
r^2 - 4r + 4 = 0
(r - 2)^2 = 0
r = 2, 2
Karena nilai-nilai eigen adalah sama, maka kita dapat menulis solusi umum sebagai berikut:
y_c = c1e^(2x) + c2xe^(2x)
Mencari Partikular Solusi
Untuk mencari partikular solusi, kita perlu mencari fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Pada kasus ini, kita dapat mencari partikular solusi dengan menggunakan metode variasi parameter.
y_p = Ae^x + Bcos2x + Csin2x
Kita dapat menentukan nilai A, B, dan C dengan menggantikan fungsi ini ke dalam persamaan diferensial dan mengisolasi nilai-nilai tersebut.
Solusi Akron
Akhirnya, kita dapat menulis solusi akron persamaan diferensial sebagai berikut:
y = y_c + y_p = c1e^(2x) + c2xe^(2x) + Ae^x + Bcos2x + Csin2x
Dimana c1, c2, A, B, dan C adalah konstanta yang dapat dihitung dengan menggantikan kondisi awal dan batas.
Dengan demikian, kita telah menyelesaikan persamaan diferensial (d^2-4d+4)y=e^x+cos2x.
